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人教版八年级数学上册知识点精讲(更新)

各科知识点精讲+ 班班通教学系统 2021-04-30

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第十一章 三角形

  11.1 与三角形有关的线段

名师精讲1

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微课精讲

  信息技术应用 画图找规律

  11.2 与三角形有关的角

名师精讲

微课精讲

  阅读与思考 为什么要证明

  11.3 多边形及其内角和

名师精讲

微课精讲


第十二章 全等三角形

  12.1 全等三角形

微课精讲1

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名师精讲

  12.2 三角形全等的判定

微课精讲1

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名师精讲

 信息技术应用 探究三角形全等的条件

  12.3 角的平分线的性质

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第十三章 轴对称

  13.1 轴对称

微课精讲
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  13.2 画轴对称图形

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  信息技术应用 用轴对称进行图案设计

  13.3 等腰三角形

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微课精讲

  实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系

  13.4 课题学习 最短路径问题

微课精讲

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第十四章 整式的乘法与因式分解

  14.1 整式的乘法

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  14.2 乘法公式


名师精讲

  阅读与思考 杨辉三角

  14.3 因式分解


名师精讲

第十五章 分式

  15.1 分式


名师精讲

  15.2 分式的运算


名师精讲

  阅读与思考 容器中的水能倒完吧

  15.3 分式方程

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    新人教版八年级数学上册知识点归纳

第十三章  轴对称

一、轴对称图形

1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

2.  把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系   

 

  4.轴对称的性质

  ①关于某直线对称的两个图形是全等形。        

    ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

    1.   经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 

3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结: 

在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等

四、(等腰三角形)知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)

2、等腰三角形的判定:

    如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)

五、(等边三角形)知识点回顾

1.等边三角形的性质:

等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。

2、等边三角形的判定:

  ①三个角都相等的三角形是等边三角形。

  ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1、等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的性质定理及推论:

定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。

(2)等腰三角形的其他性质:

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。

③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则

④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论:

定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

 

等腰三角形性质

等腰三角形判定

中线

1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;

2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;

2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;

2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。

高线

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;

2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

等边对等角

等角对等边

底的一半<</FONT>腰长<</FONT>周长的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用:

位置关系:可以证明两条直线平行。

数量关系:可以证明线段的倍分关系。

常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:

结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。

结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

 第十四章  整式乘除与因式分解

一.回顾知识点  

1、主要知识回顾:

幂的运算性质:

am·an=am+n     (m、n为正整数)

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

= amn    (m、n为正整数)

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

       (n为正整数)

积的乘方等于各因式乘方的积.

= am-n     (a≠0,m、n都是正整数,且m>n)

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

零指数幂的概念:

a0=1  (a≠0)

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.

负指数幂的概念:

a-p=  (a≠0,p是正整数)

任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂,等于这个数的p指数幂的倒数.

也可表示为:(m≠0,n≠0,p为正整数)

单项式的乘法法则:

单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式的乘法法则:

单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.

多项式与多项式的乘法法则:

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.

单项式的除法法则:

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式的法则:

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

 

 2、乘法公式:

①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

文字语言叙述:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.

②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2

                  (a-b)2=a2-2ab+b2

文字语言叙述:两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.

 3、因式分解:

因式分解的定义.

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解. 

掌握其定义应注意以下几点: 

(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;

(2)因式分解必须是恒等变形; 

(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.

因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式.

 二、熟练掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)掌握提公因式法的概念;

(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;

(3)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.

(4)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

 2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;

常用的公式:

①平方差公式:   a2-b2= (a+b)(a-b)

②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2

                    a2-2ab+b2=(a-b)2

第十五章   分式

知识点一:分式的定义

一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。

知识点二:与分式有关的条件

①分式有意义:分母不为0()

②分式无意义:分母为0()

③分式值为0:分子为0且分母不为0()

④分式值为正或大于0:分子分母同号(或)

⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(或)

⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B)

⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)

知识点三:分式的基本性质

分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

字母表示:,,其中A、B、C是整式,C0。

拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即

 

注意:在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四:分式的约分

定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。

步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。

注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。

知识点四:最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。

知识点五:分式的通分

① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤:

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;

Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;

Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。

注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则:

分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:

 

分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为

 

② 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子

 

③ 分式的加减法则:

同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为

 

异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。

注意:在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。

知识点六整数指数幂

① 引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即

科学记数法

若一个数x是0的数,则可以表示为(,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=

 

若一个数x是x>10的数则可以表示为(,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=

知识点七分式方程的解的步骤

⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

⑵解整式方程,得到整式方程的解。

⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:

如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。

产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。

知识点八列分式方程

基本步骤

① 审—仔细审题,找出等量关系。

② 设—合理设未知数。

③ 列—根据等量关系列出方程(组)。

④ 解—解出方程(组)。注意检验

⑤ 答—答题。                        


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